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  • Equation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants

    Formulaire de report


    Définition

    Définition :
    Une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants est une équation de la forme $$ay''+by'+cy=g(x)\tag{E}$$ avec \(a\neq0\), \(a,b,c\in\Bbb R\) et \(g:I\to\Bbb R\) est une fonction continue
    Théorème :
    L'ensemble des solutions de l'équation \(ay''+by'+cy=0\) est un \({\Bbb R}\)-espace vectoriel de dimension \(2\)

    (Espace vectoriel, Dimension)

    Méthode

    $$\begin{align} &{{at''+by'+cy=0}}\\ \iff&{{(ar^2+br+c)e^{rx}=0}}\\ \iff& {{ar^2+br+c=0}}\end{align}$$
    Définition :
    L'équation \(ar^2+br+c=0\) est appelée équation caractéristique associée à \(ay''+by'+cy=0\)

    Théorème :
    Soit \(\Delta=b^2-4ac\) le discriminant de l'équation caractéristique associée à \(ay''+by'+cy=0\quad(E_0)\)
    Si \(\Delta\gt 0\), les solutions de \((E_0)\) sont : $$y(x)=\lambda e^{r_1x}+\mu e^{r_2x}\quad\text{ avec }\quad\lambda,\mu\in{\Bbb R}$$

    Théorème :
    Soit \(\Delta=b^2-4ac\) le discriminant de l'équation caractéristique associée à \(ay''+by'+cy=0\)
    Si \(\Delta=0\), les solutions de \((E_0)\) sont : $$y(x)=(\lambda+\mu x)e^{r_0x}\quad\text{ avec }\quad\mu,\lambda\in{\Bbb R}$$

    Théorème :
    Soit \(\Delta=b^2-4ac\) le discriminant de l'équation caractéristique associée à \(ay''+by'+cy=0\)
    Si \(\Delta\lt 0\), les solutions de \((E_0)\) sont : $$y(x)=e^{\alpha x}(\lambda\cos(\beta x)+\mu\sin(\beta x))\quad\text{ avec }\quad\lambda,\mu\in{\Bbb R}$$

    (Discriminant du deuxième degré, Sinus, Cosinus)
    Théorème de Cauchy-Lipschitz Théorème :
    Les solutions générales de l'équation \(ay''+by'+cy=g(x)\) s'obtiennent en ajoutant les solutions générales de l'équation homogène à une solution particulière


  • Rétroliens :
    • Equation différentielle linéaire
    • Modèle de croissance logistique